Gejala-Gejala Gelombang

Gejala – gejala Gelombang

                      1.      Gelombang Berjalan

gelombang berjalan adalah gelombang yang amplitudo dan fasenya sama di setiap titik yang dilalui gelombng. Amplitudo pada tali yang digetarkan terus menerus akan selalu tetap, oleh karenanya gelombang yang memiliki amplitudo yang tetap setiap saat disebut gelombang berjalan.
Misalkan seutas tali kita getarkan ke atas dan ke bawah berulang-ulang seperti pada Gambar disamping ini. Titik P berjarak x dart titik 0 (sumber getar), Ketika titik 0 bergetar maka getaran tersebut merambat hingga ke titik P,Waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk merambat dari titik o ke titik P adalah x / v dengan demikian bila titik 0 telah bergetar selama t detik maka titik p telah bergetar selama tP dengan

t_p= t- x/v

Berdasarkan uraian diatas maka akan didapatkan persamaan simpangan gelombang, sebagai berikut:

y=A sin⁡ 2π/T t

y=Asin(awt-kx)  y=A sin 2p/T (t- x/v ) y=A sin 2p (t/T-x/l) Tanda (-) menyatakan gelombang merambat dari kiri ke kanan

A = amplitudo gelombang (m)
l = v.T = panjang gelombang (m)
v = cepat rambat gelombang (m/s)
k = 2p/l = bilangan gelombang (m')
x = jarak suatu titik terhadap titik asal (m)

Sudut fase gelombang (q)	Fase gelombang (F)	Beda fase gelombang (AF)
q = 2p [(t/T) - (x/l)	F = (t/T) - (x/l)	DF= Dx/l =( X2-X1)/l

Persamaan simpangan di titik P dapat diperoleh dengan mengganti nilai t dengan tp sehingga kita dapatkan hubungan berikut.

y_p = A sin⁡ 2π/T (t- x/v)

A = amplitudo gelombang (m)
T = periode gelombang (s)
t = lamanya titik 0 (sumber getar) bergetar (s)
x = jarak titik P dari sumber getar (m)
v = cepat rambat gelombang (m/s)
yp= simpangan di titik P (m)

Dalam hal ini gelombang memiliki dua kemungkinan dalam arah rambatannya, oleh karenanya perlu diperhatikan langkah sebagai berikut:

§  Apabila gelombang merambat ke kanan dan titik asal 0 bergetar ke atas maka persamaan simpangan titik P yang digunakan adalah:

y_p = A sin⁡2π/T (t- x/v)

§  Apabila gelombang merambat ke kiri dan titik asal 0 bergetar ke bawah maka persamaan simpangan titik P yang digunakan adalah:

y_p = - A sin⁡ 2π/T (t- x/v)

            Fase di definisikan sebagai perbandingan antara waktu sesaat untuk meninggalkan titik keseimbang (titik 0) dan periode. Dengan demikian fase gelombang dititik P dapat ditulis sebagai berikut:

φ = t_p/T                                  Sehingga dihasilkan :

    = (t- x/v)/T                                            φ_p = t/T -  x/λ              

    = t/T- x/vT

Sedangkan untuk mengukur besarnya sudut fase di titik P dapat dituliskan sebagai berikut:

θp = 2π φ_p
                  =2π (t/T- x/λ)

Beda fase antara dua titik yang berjarak X₂ dan X₁ dari sumber getar dapat dituliskan sebagai berikut:

Δφ  = ( x₂ - x₁)/λ
Δφ  =  ∆x/λ

Nilai kecepatan dan percepatan gelombang di suatu titik dapat diketahui dengan menurunkan persamaan keduanya, sebagai berikut:

v_p = 2π/T A cos⁡ 2π/T (t- x/v)

ap= - (4π²)/T² A cos⁡ 2π/T (t- x/v)

Keterangan:
vp = kecepatan partikel di titik p (m/s)
ap = percepatan partikel di titik p (m/s2)

2.     Gelombang Stasioner

       Adalah gelombang yang memiliki amplitudo yang berubah – ubah antara nol sampai nilai maksimum tertentu.Gelombang stasioner dibagi menjadi dua, yaitu gelombang stasioner akibat pemantulan pada ujung terikat dan gelombang stasioner pada ujung bebas.

                             

Seutas tali yang panjangnya l kita ikat ujungnya pada satu tiang sementara ujung lainnya kita biarkan, setela itu kita goyang ujung yang bebas itu keatas dan kebawah berulang – ulang. Saat tali di gerakkan maka gelombang akan merambat dari ujung yang bebas menuju ujung yang terikat, gelombang ini disebut sebagai gelombang dating. Ketika gelombang dating tiba diujung yang terikat maka gelombang ini akan dipantulkan sehingga terjadi interferensi gelombang.
       Untuk menghitung waktu yang diperlukan gelombang untuk merambat dari titik 0 ke titik P adalah (l- x)/v . sementara itu waktu yang diperlukan gelombang untuk merambat dari titik 0 menuju titik P setelah gelombang mengalami pemantulan adalah(l+x)/v , kita dapat mengambil persamaan dari gelombang dating dan gelombang pantul sebagai berikut:

y₁= A sin 2π/T (t- (l-x)/v) untuk gelombang datang,

y₂= A sin 2π/T (t- (l+x)/v+ 180⁰) untuk gelombang pantul

Keterangan:
a. Gambar pemantulan gelombang pada  ujung tali yang terikat.
b. Gambar pemantulan gelombang pada  ujung tali yang dapat bergerak bebas.

Sehingga untuk hasil interferensi gelombang datang dan gelombang pantul di titik P yang berjarak x dari ujung terikat adalah sebagai berikut:
y  =  y₁+ y₂
    =A sin⁡ 2π (t/T- (l-x)/λ)+ A sin⁡2π(t/T- (1+x)/λ+ 180⁰ )

 Dengan menggunakan aturan sinus maka penyederhanaan rumus menjadi:
    sin⁡ A + sin⁡ B = 2 sin⁡ 1/2 (A+B) - cos⁡1/2  (A-B)

Menjadi:
y= 2 A sin⁡ (2π x/λ )  cos ⁡2π  (t/T - l/λ)
y= 2 A sin⁡ kx cos⁡ (2π/T t - 2πl/λ)

Rumus interferensi

y= 2 A sin⁡ kx cos⁡ (ωt- 2πl/λ)

Keterangan :
A  = amplitude gelombang datang atau pantul (m)
k  =  2π/λ
ω  = 2π/T (rad/s)
l   = panjang tali (m)
x  = letak titik terjadinya interferensi dari ujung terikat (m)
λ  = panjang gelombang (m)
t  = waktu sesaat (s)
Ap = besar amplitude gelombang stasioner (AP)
Ap = 2 A sin kx

Jika kita perhatikan gambar pemantulan gelombang diatas , gelombang yang terbentuk adalah gelombang transversal yang memiliki bagian – bagian diantaranya perut dan simpul gelombang. Perut gelombang terjadi saat amplitudonya maksimum sedangkan simpul gelombang terjadi saat amplitudonya minimum. Dengan demikian kita akan dapat mencari letak titik yang merupakan tempat terjadinya perut atau simpul gelombang.

Tempat simpul (S) dari ujung pemantulan

S =0,1/2 λ,λ,3/2 λ,2λ,dan seterusnya
   =n (1/2 λ),dengan n=0,1,2,3,….

Tempat perut (P) dari ujung pemantulan

P = 1/4 λ,3/4 λ,5/4 λ,7/4 λ,dan seterusnya
   =(2n-1)[1/4 λ],dengan n=1,2,3,….

                             3.     Gelombang berdiri

    Jika ada dua gelombang yang merambat pada medium yang sama, gelombang-gelombang tersebut akan dating di suatu titik pada saat yang sama sehingga terjadilah superposisi gelombang . Artinya, simpangan gelombang – gelombang tersebut disetiap titik dapat dijumlahkan sehingga menghasilkan sebuah gelombang baru.
    Persamaan superposisi dua gelombang tersebut dapat diturunkan sebagai berikut:
y₁ = A sin⁡ ωt ; y₂ = A sin⁡ (ωt+ ∆θ) 
    Kedua gelombang tersebut memiliki perbedaan sudut fase sebesar Δθ
Persamaan simpangan gelombang hasil superposisi kedua gelombang tersebut adalah:

y = 2 A sin⁡ (ωt+ ∆θ/2) cos⁡(∆θ/2) 

    Dengan 2A cos (∆θ/2) disebut sebagai amplitude gelombang hasil superposisi.
Dengan 2A cos (∆θ/2) disebut sebagai amplitude gelombang hasil superposisi.

Gelombang Berdiri Pada Ujung Bebas

Pada gelombang stasioner pada ujung bebas gelombang pantul tidak mengalami pembalikan fase. Persamaan gelombang di titik P dapat dituliskan seperti berikut:
y₁=A sin⁡〖2π/T 〗 (t- (l-x)/v) untuk gelombang datang

y₂=A sin⁡〖2π/T 〗 (t- (l+x)/v) untuk gelombang pantul

y   =  y1 + y2
     =   A sin⁡ 2π/T (t- (l-x)/v) + A sin⁡ 2π/T  (t- (l+x)/v)
  y =   2 A cos⁡ kx sin⁡2π(t/T- 1/λ)

Rumus interferensi antara gelombang datang dan gelombang pantul pada ujung bebas, adalah:

y=2 A cos⁡ 2π (x/λ) sin⁡2π(t/T- l/λ) 

Dengan:
As=2A cos⁡2π(x/λ) disebut sebagai amplitude superposisi gelombang pada pemantulan ujung tali bebas.

Ap = 2 A cos kx adalah amplitudo gelombang stasioner.
1) Perut gelombang terjadi saat amplitudonya maksimum, yang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:     

Ap maksimum saat cos ⁡〖(2π  x)/( λ)〗= ±1    sehingga      x= (2n) 1/4 λ,dengan n = 0,1,2,3,…….

2) Simpul gelombang terjadi saat amplitudo gelombang minimum, ditulis sebagai berikut:

Ap minimum saat cos ⁡〖(2π x)/( λ)〗=0    sehingga      x= (2n +1) 1/4 λ,dengan n = 0,1,2,3,……..

Gelombang Berdiri pada ujung terikat

     Persamaan gelombang datang dan gelombang pantul dapat ditulis sebagai berikut:

y₁= A sin⁡2π (t/T- (l-x)/λ) untuk gelombang datang

y₂= A sin⁡2π (t/T- (l+x)/λ) untuk gelombang pantul

      Superposisi gelombang datang dan gelombang pantul di titik q akan menjadi:''''
y = y₁ + y₂
y=A sin⁡ 2π (t/T- (l-x)/λ) - A sin⁡2π(t/(T ) – (l+x)/λ)

      Dengan menggunakan aturan pengurangan sinus,
sin⁡α - sin⁡β = 2 sin⁡ 1/2  (α-β) cos⁡1/2 (α+β)

      Persamaan gelombang superposisinya menjadi
y = 2 A sin⁡ 2π(x/λ) cos⁡2π (t/T- l/λ) 

      Amplitudo superposisi gelombangnya adalah:

As = 2A sin⁡2π(x/λ)

     Dengan As adalah amplitudo gelombang superposisi pada pemantulan ujung terikat.

1)     Perut gelombang terjadi saat amplitudonya maksimum, Karenanya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

   Ap=2 A sin⁡ 2π/λ x
   Ap maksimum terjadi saat sin⁡ 2π/λ  x= ±1    sehingga      x= (2n+1) 1/4 λ,dengan n=0,1,2,3…….

2)     Simpul gelombang terjadi saat amplitudonya minimum,  yang dapat ditulis sebagai berikut:
   Ap=2 A sin⁡(2π/λ) x
  Ap minimum terjadi saat sin ⁡2π/λ x = 0    sehingga       x = (2n) 1/4 λ,dengan n=0,1,2,3,…..

                             4.     Gelombang Kompleks

Setiap bentuk gelombang yang bukan gelombang sinus atau kosinus, yang berulang kembali pada setiap selang waktu yang teratur (regular interval) dinamakan gelombang berulang kompleks (complex repetitive wave). Periode T, dimana gelombang berulang, disebut waktu periodik (periodic time). Contoh sinyal seperti ini adalah bentuk gelombang persegi/kotak, gelombang segitiga, dll. Spektrum untuk setiap gelombang periodik kompleks dapat diperoleh dengan metoda matematis yang dikenal sebagai analisis Fourier. Menurut Yoseph Fourier, setiap gelombang komplek dapat diurai menjadi gelombang-gelombang sinus/kosinus, dimana jika gelombang2 tadi dijumlahkan maka akan menghasilkan bentuk gelombang komplek. Gelombang persegi yang ditunjukkan dalam Gambar 2.1 (c) dapat direpresentasikan dengan deret Fourier (Fourier series), penjumlahan gelombang sinus / kosinus dg frekwensi harmonisnya, berikut:

(2.4)

Perhatikanlah bahwa bentuk simetris dari gelombang persegi terhadap sumbu-sumbunya adalah serupa dengan suatu gelombang kosinus, dan karena itu deret pada rumus (2.4) hanya mengandung suku-suku kosinus.

Deret tersebut mempunyai jumlah suku (termin) yang tak-berhingga banyaknya, tetapi dapat dilihat bahwa amplitudo masing-masing suku mengecil sebanding dengan 1/n. Terlihat juga bahwa deret itu hanya mengandung harmonisa-harmonisa ganjil (yaitu, unsur-unsur pada frekuensi f, 3f, 5f dan seterusnya). Spectrum untuk gelombang persegi  ditunjukkan dalam Gambar 2.1(d).

Harus dipahami dengan jelas bahwa spektrum tersebut bukan hanya sekedar cara lain (matematis) untuk melukiskan suatu gelombang. Di dalam gelombang persegi, misalnya, komponen gelombang-gelombang kosinus (secara fisik) sama nyatanya dengan bentuk-gelombang waktu aslinya dan benar-benar dapat disaring keluar dengan menggunakan filter-filter yang selektif terhadap frekuensi-frekuensinya. Gambar 2.2. memberikan gambaran bahwa penjumlahan dari beberapa komponen gelombang dg frekwensi f, 3f, 5f, akan menghasilkan gelombang yg mendekati bentuk gelombang persegi, digambarkan dengan garis putus-putus.